UNIDAD III

VECTORES (ESTATICA)

INTRODUCCION:

Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

En física se encuentran ciertas magnitudes que pueden ser especificadas completamente mediante un numero y una unidad de medida. Estas magnitudes reciben el nombre de Magnitudes Escalares y entre estas se pueden citar el tiempo, la longitud, la masa, la temperatura otras.

Las magnitudes escalares pueden someterse a la operaciones fundamentales de la aritmética (suma, resta multiplicación y división). Por ejemplo:

30 kg + 17 kg + 29kg = 76 kg

25.4 cm - 14.8 cm = 10.6 cm

20.0 m * 16.0 m = 320 m

60 m / 10s = 6.0 m/ s

Otras magnitudes físicas, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y la fuerzas, requieren además de un numero y las respectivas unidades, la especificación de una dirección y un sentido, a estas se les denomina Magnitudes vectoriales. Se dice que las magnitudes vectoriales poseen módulo (el numero con la unidad de medida), una dirección y un sentido.

La dirección de una magnitud vectorial (por ejemplo la velocidad) se da haciendo referencia a direcciones convencionales ya establecidas tales como el Norte, Sur, Este y Oeste, las líneas imaginarias horizontales y vertical o en general haciendo uso de los ejes coordenadas (Eje x y Eje y)

El sentido es aquel que indica hacia donde se produce, se manifiesta o actúa la magnitud.

Un desplazamiento puede darse hacia la derecha, la izquierda, hacia arriba o hacia abajo. Para efectos operacionales en una misma dirección se consideran dos sentidos:

Uno positivo(+) (hacia la derecha o hacia arriba) y el otro negativo(-) (hacia la izquierda o hacia abajo).

Las magnitudes vectoriales obedecen las leyes del Álgebra Vectorial. Esta establece la operaciones entre elementos llamados Vectores, mediante los cuales se presenta a las magnitudes vectoriales.

Para hacer referencia a un vector se hace uso de una letra en negrilla o de una letra con una pequeña flecha sobre ella, así:

Etc. Se lee el vector A, el vector B, el vector C, respectivamente.

El modulo de un vector se presenta haciendo uso símbolo para valor absoluto o simplemente por la letra sin el distintivo del vector. Así:

Representan la magnitud del vector A.

REPRESENTACION GRAFICA DE UN VECTOR

Un vector puede representarse gráficamente mediante un segmento de recta dirigido y orientado (como una flecha) y cuya longitud es proporcional a su modulo .Por ejemplo si se dice que una fuerza es de 50N es aplicada en un punto de un cuerpo mediante una

cuerda que se tensa hacia arriba formando un Angulo de 30˚ con la horizontal, esto se puede representar tal como se muestra en la figura 1

F Escala

30⁰

X 1 unidad =10N

Fig. 1 representación grafica de una fuerza

Como puede verse,el vector se dibuja a escala.Una división del segmento representa 10N .

Convencionalmente las características del vector se representan así:

Símbolo F(Vector fuerza)

Modulo de F: │F│=F=10N

Dirección de F: 30˚medidos a partir del semi eje x positivo

Sentido: hacia arriba

IGUALDAD DE VECTORES Y EL NEGATIVO DE UN VECTOR

Se dice que dos o mas vectores son iguales si tienen el mismo modulo dirección y sentido.el negativo de un vector es otro de igual modulo y dirección pero de sentido contrario.

A B C D E

V (b)

(a)

-V

(c)

figura 2. (a) A=B=C, (b) D≠E, (c) Negativo de un vector V.

En la figura #2 se muestran algunos vectores que son iguales, otros que son diferentes, así como el negativo de un vector.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

Al igual que en la suma y resta de escalares, sólo se pueden sumar o restar vectores que corresponden a la misma magnitud física.Una fuerza solo se pueden sumar o restar a otra fuerza, un desplazamiento con otro desplazamiento,una velocidad con otra velocidad, etc.

La suma de vectores puede efectuarse a través de dos métodos:

a)Grafico

b)Analítico

Método grafico o geométrico

REGLA DEL POLÍGONO

La suma de dos o mas vectores puede realizarse mediante la aplicación de la regla del poligono.Esta consiste en ir dibujando un vector a continuación de otro,colocando el origen del que sigue en el extremo del vector anterior y así sucesivamente.el vector suma se traza desde el origen del primer vector de la suma hasta el extremo del ultimo.

La suma de los vectores es conmutativas decir, que se puede sumar en cualquier orden Esto se muestra en la figura 3.(Regla del polígono y ley conmutativa)

A B C D

La resta entre dos vectores puede considerarse como un caso particular de la suma

A - B = A + (-B).Restar el vector B del vector A es equivalente a sumarle al vector A el negativo del vector B (o sea –B) .

REVISIÓN DE CONCEPTOS.

I-Responda a lo siguientes:

¿Qué es una magnitud escalar?.Cite al menos diez ejemplos

¿Qué es una magnitud vectorial?. Cite al menos cinco ejemplos

¿Cuándo se dice que dos vectores son iguales?

¿Qué es el negativo de un vector?

¿Tiene sentido hablar de un vector cero?

¿Puede ser cero la suma de dos vectores cuyas magnitudes sean diferentes?

¿y si son tres o mas vectores diferentes?

¿Cómo se hace para restar un vector de otro?

2-Diga que características deben poseer dos vectores A y B tales que:

a)A+B=C

b) A + B = A - B

c) A + B = 2A

3-De acuerdo al diagrama vectorial que se muestra en la figura ,determine ¿Cuales de las expresiones son correctas?

Problemas.

1-un automóvil recorre hacia el este una distancia de 12km y luego 9km hacia el Sur.Determinar el modulo y dirección del desplazamiento.

2-Para los vectores A y B que se muestran en la figura , obtener los vectores S = A + B y D = B - A

La magnitud y dirección del vector

120˚

|A| = 60 unidades

|B| = 40 unidades

3- Un automóvil se desplaza hacia el Este 50km,después hacia el norte 30 km y luego en dirección 30˚ al este del Norte,25 km.Determine el modulo y dirección de desplazamiento resultante.

4-Marca con una (X) la mejor respuesta :

4.1-La cantidad escalar es :

a)La velocidad b)El tiempo c)La fuerza d)El peso.

4.2- Dado el vector el vector es:

c) d)

4.3-La grafica muestra un vector:

b=3u,en la dirección 40˚ al Este del Sur. N

b. b=3u,en la dirección 60˚ al Sur del Este

c. b=3u,en la dirección 40˚ al Sur del Este

b=3u,en la dirección 40˚ al Sur del Oeste O E

30˚

SÍNTESIS

Vectores: cantidad física qué se determina dando su módulo, dirección y sentido.

Escalares: cantidad física que se determina dando su magnitud con su correspondiente unidad.

Representación de los vectores: se representa mediante una flecha cuya parte inicial se denomina ORIGEN DEL VECTOR,y la parte final extremo o CABEZA DEL VECTOR.

El módulo del vector esta determinada por la longitud de la flecha ,su dirección por el ángulo que forman con el vector y el semi eje positivo de las equis.El sentido se determina por el extremo de la flecha .

Suma de vectores: para sumar dos o mas vectores gráficamente,se coloca uno a continuación de otro ,de tal forma que la cabeza de uno coincida con la cabeza del otro ,el vector suma será aquel que tiene por origen,el origen del primer vector y por cabeza, la cabeza del ultimo vector.

Diferencia de vectores :dados los vectores a y b se define : o sea,es la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo.

3.6 COMPONENTES DE UN VECTOR.

Se denominan componentes de un vector V,a cualquier conjunto de vectores que al sumarse dan como resultado el vector V.

Si V=A+B+C,los vectores A, B y C son los vectores componentes de V

Cuando las direcciones de los vectores componentes son perpendiculares entre si se denominan componentes rectangulares.

Para representar gráficamente las componentes rectangulares de un vector , se dibujan dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen del vector considerado y desde el extremo terminal de este se trazan los segmentos perpendiculares ,uno a cada uno de las rectas antes indicadas.En la figura 3 se representan los componentes rectangulares de dos vectores

a) Para el vector A sus componentes a y A_xy A_y en las direcciones x e y

b) para el vector F sus componentes son:F_t paralela a un plano inclinado y F_N normal (o perpendicular )a dicho plano .

(a)

Figura 3. (a) y (b) Cada uno de los vectores puede ser expresado así:

A=A_{x +}A_yF=F_T + F_N

Además ,aplicando las definiciones trigonometricas para un triangulo rectángulo se tiene:

A_x/ A=cos a A_Y/ A=sen a F_N/ F=cosq F_T/ F=senq

O bien

A_x= A cos a A_Y= A sen a F_N= F cosq F_T= F senq

A²=A_x²+ A_y²F²=F_N²+F_T²

^{MODULO DE A
MODULO DE F}

Ejemplo 1.un automóvil viaja a razón de 80km/h en une dirección de 60° al Norte del Este.

Determinar el valor de las componentes en las direcciones Norte y Este

V_E= Vcos 60°=80(0.5)

V_NV_E=40 km/h

V_N= Vsen 60°=80(0.866)

60f V_N=69.3 km/h

V_E

SUMA DE VECTORES POR COMPONENTES RECTANGULARES

La suma de vectores por componentes rectangulares implica, descomponer cada uno de los vectores sumandos y luego sumar separadamente estas componentes de acuerdo a su dirección .

Sean los vectores V₁, V_2,. . . , V_n.Si la suma de estos vectores es V_R,entonces :

V_R= V₁+ V₂ + . . . + V_N

En términos de sus componentes en la dirección de los ejes X y Y se tiene :

V_R= (V_1X+ V_1Y) +(V_2X + V_2Y)+ . . . (V_nX+ V_nY)

V_R= V_1X+ V_2X + . . . + V_nX + V_1Y+ V_2Y+ . . . + V_nY

V_R= V_RX+ V_RY

_{n
n}

V_RX= S V_iXV_RY= S V_iY

_j=1 _j=1

Al sumar componentes de la misma dirección ,la notación vectorial se puede omitir y la suma se vuelve algebraica

_{n
n}

V_RX= S V_iXyV_RY= S V_iY

_j=1 _j=1

El modulo de V_Res:

(V_RX)²+(V_RY)²

V_R=

La dirección de V_Rse determina trigonometricamente de modo que si Θ_R es el ángulo que este vector forma con el semi eje X positivo,este se obtiene por:

Ejemplo N° 1.

¿Cuáles son las componentes X e Y de una fuerza de 200N con un ángulo de 60° .

Componentes:

Fx = F cos q

Fy = F sen q

Fy 200N Fy

60°

SOLUCION:

1) Calculemos la componente X, Fx notando que esta en el lado adyacente .El vector de 200N es la hipotenusa.utilizando la función coseno obtenemos:

cos 60° = Fx / 200

de la cual: Fx =(200 ) cos 60° = 100N

2) El lado opuesto del ángulo de 60° es igual en la longitud a Fy ,así podemos escribir

sen 60° = Fy / 200N

ó Fy = (200) sen 60° =173.2N

Ejemplo N° 2 .¿Cuál de la resultante de una fuerza de 5N dirigida horizontalmente a la derecha y una fuerza de 12N dirigida verticalmente hacia abajo?

R= Fx² + Fy²

R= (25N² + 144 N ²)= 169 N ² = 13N

Tang f = (12 / 5N ) f = Tang^-1(12/5) = Tang^-1 (2.4)

f = 67.4^o hacia abajo del eje X

El signo de una componente puede ser determinado por un diagrama de vectores

La magnitud de la componente puede ser hallada al utilizar el ángulo agudo.

Ejemplo N° 3 .encuentre el valor de las componentes X y Y de una fuerza de 400N que actúa con un ángulo de 220°.

180° - Fx +

Fy q

+ 270

θ = 220° - 180 ° = 40°

Del diagrama ambas componentes son negativas por lo que :

Fx= -½Fcosf ½ = -(400N) cos 40° = (400 N) (0.766)= -306.4 N

Fy= -½Fcosf ½ = -(400N) sen 40° = -(400 N) (0.643)= -257.2 N

Ejemplo N° 4.Tres fuerzas están aplicadas en un punto tal como se muestra en la

figura N° 1.

Si F₁= 60 N , Θ₁= 45˚ , F₂= 80 N , Θ₂= 150˚ , F₃= 30 N y Θ₃=270˚.

Determinarla fuerza resultante F_R.

Figura N. 1

Fuerza	Componente en X	Componente en Y
F₁	60 cos 45°= 42.4 N	60 sen 45°= 42.4 N
F₂	80 cos 150°= -69.3 N	80 sen 150°= 40.0 N
F₃	30 cos 270°= 0.0 N	30 sen 270°= -30.0 N
F_R	-26.9 N	52.4 N

Figura N^o 1

F_R= (F_RX)²+ (F_RY)²= (-26.9)²+ (52.4)²= 58.9N

TangΘ_R= (52.4) / (-26.9) = -1.95 ; Θ_R= -62.9°

Si observamos los signos de F_RXyF_{RY ,}el vector F_R se encuentra en el segundo cuadrante .Luego

Θ_{R =}(180°-62.9°) = 117.1°

F_R tiene un valor de 58.9 N y forma un ángulo de 117.1° con el semieje X positivo

EJEMPLOS. CONDICIONES DE EQUILIBRIO

La suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo debe ser cero.

ΣF_EXT
=0

Ejemplo N° 1 .Hállese la tensión en las cuerdas A y B .

A 45°

60° 45°

B A x

30° B

W = 420N

Aplicando la 1^o condición de equilibrio . Sustituyendo ecuación#3 en ecuación #2

Ecuación #1 : -Acos(45⁰) + Bcos(30⁰ ) = 0

Ecuación #2 : Acos(45⁰) - Bcos(30⁰ ) - W = 0

Despejando A de ecuación #1.

Ecuación #3:

Ejemplo N^o2.Un estudiante de m = 80kg esta suspendido de las manos de una barra horizontal de gimnasia .Si cada uno de sus brazos forma un ángulo q = 30° con la vertical ¿con que fuerza debe de tirar de la barra con cada una de sus manos

La condición para el equilibrio

F₁+ F₂+ mg = 0

Al sacar las componentes, descubrimos que :

Ecuación #1: F₁sen q + F₂sen q = 0

Ecuación #2: F₁cos q + F₂cos q - mg = 0

Ejemplo N^o3 .Se suspende un bloque de 2.0kg por medio de una cuerda sin masa, que la mantiene a un ángulo de 30° con respecto a la vertical ,mediante una fuerza horizontal F

Determínese el valor para F y la tensión T en la cuerda.

T 30°

30°

F X

La condición para el equilibrio ;

F + T + mg = 0

Desarrollando por componente rectangulares a lo largo de los ejes X y Y son :

ECUACIÓN (1) F – T sen 30° = 0

ECUACIÓN (2) T cos 30° - mg =0

Puesto que sen 30°= 0.5 y cos 30° =0.87

La segunda ecuación nos conduce a:

T = mg/ cos 30° = (2.0 kg * 9.8 m/s²) / 0.87 = 23N

Y al sustituir en la primera ecuación, obtenemos:

F = 0.5 T

F = 0.5 * 23 N

F = 12N

CUESTIONARIO

1)hallar el modulo y dirección de los vectores A,B,C y D cuyas componentes rectangulares son :

a)A_x = 14 m y A_y= -9 m

b)B_x=-9 m y B_y= -12m

c) C_x =10 m y C_y= 18m

d) D_x=-7 m y D_y= 15m

2)Para los problemas del vector anterior , a partir de sus componentes rectangulares , obtener el modulo y dirección de:

a) N = A + B

b) M = C + D

c) P = A - D

d) Q = C – ( A – B )

4)Usando los componentes rectangulares determinar la resultante de los sistemas de fuerzas mostradas en la figura. (F₁= 7 N, F₂= 10 N, F₃= 5 N)

F₂

y F₂ y

F₁

60°

x 30° 60°

F_{1
X}

F₃ F₃

5)Una fuerza F actúa sobre un cuerpo formando un ángulo q medido con respecto al semieje x positivo , provocándole un desplazamiento DX.

Calcular el trabajo realizado por la fuerza para los siguientes casos:

FORMULA PARA DETERMINAR EL TRABAJO DE UNA FUERZA : W= Fcos q *DX

a) F = 10 N , q = 30° , DX = 5 m

b) F = 40 N , q = 60° , DX = 5m

c) F = 20 N , q = 90° , DX = 10m

d) F = 10 N , q = 150° , DX = 5m

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Anónimo27 de enero de 2022 a las 19:08
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CIENCIA FISICA

domingo, 6 de marzo de 2016

UNIDAD III

Método grafico o geométrico

SÍNTESIS

CUESTIONARIO

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