FUNDAMENTOS DE FLUIDOSTÁTICA Y
FLUIDODINÁMICA
.
Densidad
, Peso especifico y Presión.
Introducción.
Para la
mejor comprensión en el estudio de la hidrostática, es necesario la adquisición
de conocimientos básicos, como lo son , en este caso la densidad, el peso
específico y el concepto de presión.
Es
muy importante entender la relación de la masa de un cuerpo con su volumen
correspondiente a lo que se denomina como densidad, así como también la relación existente entre el peso de un cuerpo y su
volumen correspondiente a lo cual se le llama peso específico.
Los
líquidos y los gases se denominan fluidos porque fluyen libremente y llenen los
recipientes que lo contienen, debido a esto ellos pueden ejercer fuerzas sobre
las paredes de los recipientes que los contienen, estas fuerzas, al actuar
sobre superficies de área definidas crean una condición de Presión.
Densidad
Dfn -- La
densidad de un cuerpo se define como la cantidad de masa contenida en una unidad de volumen. Para calcular la densidad
de un cuerpo se divide su masa entre el volumen, así :
donde :
r : símbolo de la densidad.
m : masa del cuerpo
v : volumen del cuerpo.
La densidad de
los sólidos y de los líquidos suelen
expresarse en g/cm3 y en kg/m3 .
Ejemplo :Calcular
la densidad de una sustancia, que tiene
una masa de 216 gramos y un volumen
de 200 cm3.
Datos
masa =216 gr. r = m =
216 gr.
Volumen =200cm3 v 200 cm3
r =
1. 08 gr / cm3
Peso específico.
Dfn -- El peso específico se define como la relación
existente entre el peso de un cuerpo y su volumen. Para calcular el peso
específico de un cuerpo se divide el peso entre su volumen, así :
donde :
D : símbolo del
peso específico.
w : peso del cuerpo
v : volumen del
cuerpo
Las unidades en que se
obtiene el peso específico son : Newton por metro cúbico (N/m³).
Por ejemplo, si un cuerpo posee un
peso de 20 N y ocupa un volumen de 4m3 , su peso específico es de
5N/ m3 .
Relación entre densidad y peso específico.
Se debe tener en cuenta que tanto la densidad como
el peso específico son características
de cada sustancia o material , debido a eso es que existe una relación entre
ellos
r = m /
v Þ m
= r v ,
y D = w / v
como
w = m g ,
podemos escribir : D = m*g / v
pero por lo
expuesto anteriormente , se está hablando de la misma sustancia o material ,
entonces podemos
sustituir m por r.v y obtenemos que :
D = r * v * g / v
simplificando los volúmenes tenemos :
D = r*g
expresión que
enfatiza la relación entre la densidad y el peso específico.
Presión
Dfn . -- La
presión es la relación entre la fuerza y la superficie sobre la que se aplica la fuerza. Por ejemplo : al estar de
pie ejercemos una fuerza sobre el piso (presión) , en un envase con agua , el
líquido ejerce una fuerza sobre las paredes del envase (presión) , en un
cilindro con oxígeno, el gas ejerce una fuerza interna en el cilindro (
presión).
Como puede notarse, la presión puede ser ejercida por un
sólido, un líquido o un gas. La presión (P) es la fuerza (f) que un cuerpo
ejerce sobre cada unidad de apoyo (A) , por lo que podemos , escribir :
P =
f / A
Las unidades en
que se mide la presión N/m² lo que se
conoce como Pascal, usualmente se
expresa en kPa. O sea kilopascales.
Por lo
tanto 1kPa = 1000
Pa
1kPa =
0.145 lbf / in²
Supóngase que al caminar hay un instante en que el tacón
soporta el peso total
Ejemplo: Un zapato de tacón, tiene un área de 0.0004m2
en contacto con el piso. de una persona
de 801.82N . ¿Cuál es la presión que ejerce el tacón sobre el piso ?
Solución :
Datos : A = 0.0004 m² P
= f / A
f = 801.82N P = ( 801.82N ) / ( 0.0004 m²)
P
= ? P = 2.0 x 106
N/ m² 
Presión del fluido
en reposo ( Hidrostática )
Es muy significativa las diferentes formas que actúan las
fuerzas sobre un fluido sobre
un sólido. Puesto que un sólido es un cuerpo rígido puede
soportar que se le aplique fuerza sin que se origine algún cambio significativo
en su forma. Un líquido, por otro lado, puede sostener una fuerza sólo en una
superficie cerrada o frontera. Si un líquido no está contenido fluirá bajo la
acción de un esfuerzo cortante en lugar de deformarse elásticamente.
La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del
recipiente que lo contiene siempre actúa perpendicularmente a dichas paredes.
 |
Esta propiedad característica de los fluidos es la que
hace tan útil el concepto.
Si se reflexiona por un momento, se podrá demostrar que el líquido también ejerce un
presión hacia arriba. Cualquiera que haya tratado de mantener una bolsa por
debajo de la superficie del agua se convence inmediatamente de la existencia de
una presión hacia arriba. De hecho se determina que : Los fluidos ejercen
presión en todas direcciones.
 |
Para determinar la expresión que nos regirá
a la presión hidrostática, consideremos una columna de agua de
altura h y que se encuentra sobre una
superficie A
 |
|||
 |
|||
h
 |
A
Sabemos que hay cierta cantidad de agua ocupando esa
columna de agua y que dicha cantidad tiene un peso w.
Si P = f / A
y f igual al peso del agua , entonces :
P = w/A pero como
w = mg , entonces P = mg /A
Pero como no conocemos la cantidad de masa de agua en la columna , ocupamos la
densidad y densidad
x volumen = masa
, entonces :
P
= rg
v / A
Como v es el volumen de la columna de agua y eso es
igual al producto del área de la base por la altura, entonces :
P = rgAh /A ,
simplificando las áreas tenemos :
P = rgh pero
como rg = D también podemos escribir
P = D x h
Síntesis
El
estudio de los conceptos básicos de hidrostática planteados anteriormente nos
fortalecen los conocimientos para la comprensión del comportamiento de los
líquidos especialmente en reposo, así como también la medición de
presiones al igual que las diferentes
tipos de presiones que se estudian en ellos.
Asignación para el
estudiante.
Parte 1. Revisión de conceptos.
1.- ¿Qué es un fluido ? Explique.
2.- Cite tres
ejemplos de fluidos.
3.- Escribir la
fórmula de la densidad y del peso específico.
4.- ¿Cuál es la
diferencia entre densidad y peso específico ?
5.- ¿Por qué los líquidos sólo pueden sostener una fuerza
en una superficie cerrada ?
Parte 2.
Desarrolle los siguientes ejercicios.
1.- ¿ Qué volumen
ocupan 0.4 Kg
de alcohol ? ¿ Cuál es el peso de este volumen ?
R/ a) 5.06 x 10-4 m3
b)
3.92 N
2.- Una sustancia desconocida tiene un volumen de 20 ft3 y pesa
3370 lbf. ¿ Cuales son su peso específico y su densidad ?
R/ a) 168.5 Pdl/ft3
b) 5.241 Lb/ft3
3.- ¿ Qué volumen de agua tiene la misma masa que 100 cm3
de plomo? ¿ Cuál es el peso específico del plomo ?
R/ a) 1130 cm3
b) 1.11 x 105 N/m3
4.- Considere una joven de 588 N de peso, que esta de pie
en el piso de una sala.
a)
Estando descalza , el área total de
apoyo de sus pies sobre el suelo es de 150 cm2.
¿ Qué presión esta
ejerciendo sobre el piso ?
b)
Si tuviera puesto zapatos para nieve, su área total de apoyo sería de 600
cm2. En
este caso. ¿ Cuál sería la presión sobre el suelo ?
R/ a) 39.2 x 103 N/ m2
b) 9.8 x 103 N/ m2
5.- Un bloque de madera, cuyo volumen es de 500 cm3
, tiene una masa igual a 300 g
a)
¿ Qué densidad tiene esa madera en g/cm3 y en Kg/ m3
?
b)
Explique con sus propias palabras, el significado de los resultados
obtenidos en el literal a)
c)
Un trozo de esta madera tiene un volumen de 2.5 m3. ¿ Cuál es
su masa ?
R/
a) 600 Kg/m3
b) 0.600g/cm3
c) 1500 Kg
.
MEDICION DE PRESION
Objetivo: Definir presión absoluta, manométrica y
atmosférica, y demostrar por medio de ejemplos la comprensión de la relación
existente entre ellas.
Introducción.
Existen
tres tipos de presión que serán estudiadas, dos de ellas muy particulares, no
así la última que es la combinación de las anteriores. Estas son la atmosférica que es la generada
por la atmósfera sobre todos los objetos , la otra, la manométrica medida a
través de un instrumento llamado manómetro y la última que es la absoluta que
es la suma de la atmosférica y la manométrica. Teniendo estos conocimientos se nos facilitará el estudio
y la comprensión del comportamiento de los fluidos en reposo.
Presión
Atmosférica.
La tierra
está rodeada por una capa de gases que recibe el nombre de atmósfera. El peso
de los gases que componen la atmósfera producen sobre los cuerpos una presión
que se denomina Presión Atmosférica. Aproximadamente hay un kilogramo de
aire sobre cada centímetro cuadrado (1 kg/cm2 ) de la superficie
terrestre.
La presión
atmosférica cambia según la temperatura del ambiente y la altura sobre el nivel
del mar; alcanza su máximo valor a nivel del mar y va disminuyendo a medida que
ascendemos o sea que presenta un comportamiento igual a la siguiente gráfica :
P(atm)
h (km)
En el Sistema Internacional de unidades
(SI) 1 atm. equivale a 101325 pascales, también equivalente a 760 mm Hg ( 76 cm Hg).
La presión atmosférica se ejerce en todas las
direcciones; por eso, sus efectos se compensan y no , nos sentimos aplastados
por ella.
Presión Manométrica.
La presión manométrica es la presión medida
directamente por un dispositivo llamado manómetro, uno de ellos consiste
en un tubo en U que contiene un líquido que por lo general es mercurio o agua.
Cuando ambos extremos del tubo están abiertos, el mercurio busca su propio
nivel ya que en ambos extremos del tubo existe la misma presión . Cuando uno de
los extremos se conecta a una cámara presurizada, el mercurio se elevará en el
extremo abierto hasta que las presiones se iguales. La diferencia entre los dos
niveles de mercurio es una medida de la presión manométrica.
Presión Absoluta
Supongamos
que se tiene una cámara presurizada, la presión que existe dentro de ella es
presión absoluta, cuando la medimos a través de un manómetro, observamos la
diferencia entre las columnas del fluido manométrico, si a eso le sumamos la
presión atmosférica entonces estamos encontrando la presión absoluta, así :
P absoluta = P
manométrica + P atmosférica
Ejemplo 1 :
Un manómetro de mercurio es utilizado para medir la presión de un gas
dentro de un tanque. Si la diferencia entre los niveles del mercurio es de 36 cm. ¿ Cuál es la presión
absoluta dentro del tanque ?.
SOL: Datos
P manométrica = 36 cm Hg
P atmosférica = 76 cm Hg Pab = Pman +
Patm
P absoluta =
? Pab = 36
cm Hg + 76 cm Hg = 112
cmHg |
Ejemplo 2 : Una piscina de 10 m de profundidad se
encuentra totalmente llena de agua.
a)
¿
Cuál es la presión, en el fondo, debida únicamente al peso del agua ?
b)
Si
sabemos que la presión atmosférica local vale 76 cm Hg, ¿ Cuál es la
presión total en el fondo de la
piscina ?
SOL :
a) Datos
r
agua = 1.0 x 103 Kg/m3 P
= r g h
h =
10m
g = 9.8 m/s2 P = (1.0
x 103 Kg/m3)(9.8m/s2)(10m)
P = 0.98
x 105 N/m
b) P atm = 1.01 x 105 N/m2 P ab = P atm + P man
P man = 0.98 x 105 N/m2 P ab = 1.01 x 105 N/m2 + 0.98 x 105 N/m2
P ab = 1.99 x 105 N/m2
 |
Ejemplo 3: La presión
que puede soportar una columna de agua de 60 cm de altura, la puede soportar también una columna de solución
salina de 50 cm.
Hallar la densidad de dicha solución.
SOL.
Datos.
r H2O = 1.0 x 103
Kg/m3
P H2O =
P SS
r SS =
?
r H2O (g) h H2O = r SS (g) h SS
h H2O = 60 cm = 0.60 m r H2O (h H2O) = r SS
h SS = 50 cm = 0.50 m h SS
P H2O =
P SS
( 1.0 x 103
Kg/m3)( 0.6 m
) =
r SS
( 0.50 m
)
1200 Kg/m3 = r SS
1.2
x 10 3 Kg
/m3 = r SS
Síntesis
Conocer
en que consisten cada una de las diferentes presiones en un fluido y aprender a
determinarlas en forma práctica a través de problemas.
Asignación para el estudiante.
Parte
I. Revisión de conceptos.
1)
¿ Qué es presión atmosférica ?
2)
¿ Qué es presión manométrica ?
3)
Establezca la diferencia entre presión atmosférica y manométrica.
4)
¿ Cómo se mide la presión manométrica ?
Parte
II. Desarrolle los siguientes ejercicios.
1.- La
figura muestra un recipiente que contiene cierto líquido. Escriba en orden
creciente, las presiones indicadas en la figura.
 |
 |
 |
|||
*A * B
*D
*
C
* F
2.- Encuentre la presión en kilopascales debida
a una columna de mercurio 60
cm de altura.
¿
Cuál sería la presión en lb/in2 , y en atmósferas ?
R/
80 Kpa
11.6 lb/in2
0.79
atm.
3.- Un submarino se sumerge a una profundidad
de 36.576m y se nivela. El interior del submarino se mantiene a presión
atmosférica. ¿ Cuál es la presión y la fuerza total aplicada a la escotilla de
0.61m de ancho y 0.9144m de largo ? . El peso específicodel agua de mar es
aproximadamente de 1025.18N/m3.
R/
a) 37.50 Kpa
b) 20.92 KN
4.- Un émbolo de 20 Kg. descansa sobre una
muestra de gas en el interior de un cilindro que tiene un diámetro de 8 cm. ¿Cuál es la presión
manométrica sobre el gas?, ¿Cuál es la
presión absoluta?
R/ a)
39.0 Kpa
b) 140.3 Kpa
5.- Una rama de un tubo en U, abierto en ambos
lados, contiene agua y en la otra alcohol. Si los dos fluidos se encuentran
exactamente en el fondo del manómetro en U, y el alcohol tiene una altura de 14.5 cm, ¿ Qué altura
tendrá el agua?
R/ 11.46 cm
6.-En muchos lugares es común ver torres de
agua.El objetivo de esta es proporcionar una capacidad de almacenamiento,asi
como suficiente presión en la tubería que suministra el agua a la población.
En la figura se muestra un deposito esférico
que contiene 5.25 * 106
Kg de agua cuando esta lleno.El deposito tiene un
ventaneo en el techo.Para un deposito lleno, encuentre la presión manométrica del agua en el grifo que se
muestra en :
a)La casa A
b)La casa B
c)En los puntos C,D,E
7.-La sangre fluye en las arterias ,aunque como
primera aproximación es posible ignorar
los efectos de este flujo.Al considerar la sangre como un fluido estático,
calcule la cantidad en que la presión arterial P2 en la arteria tibial anterior del pie
sobrepasa la presión arterial P1 en la aorta en el corazón
cuando el cuerpo esta :
a) En posición horizontal
b) En posición vertical
(a)
 |
(b)
8.-Determine la
altura máxima a la que se puede bombear el agua de un pozo ,con el arreglo que
se muestra en la figura.
TABLA DE
DENSIDADES DE LOS METALES MÁS CORRIENTES A 15 ºC
DENSIDADES DE ALGUNAS ALEACIONES METÁLICAS
DENSIDADES DE ALGUNAS TIERRAS, PIEDRAS Y MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN
DENSIDADES DE ALGUNAS MADERAS (Secadas al aire)
DENSIDADES DE ALGUNOS LÍQUIDOS a 20ºC
|
Sustancia
|
Densidad
en g/cm3
|
Agua
|
1
|
Aluminio
|
2.7
|
Acero
|
7.8
|
Hierro
|
7.8
|
Mercurio
|
13.6
|
Hielo
|
0.92
|
Cobre
|
8.9
|
Latón
|
8.6
|
Bronce
|
8.6
|
Oro
|
19.3
|
Plata
|
10.5
|
Platino
|
21.4
|
Alcohol
etílico
|
0.81
|
Plomo
|
11.3
|
EL
PRINCIPIO DE PASCAL
En las
figuras se muestran dos situaciones: en la primera se empuja el líquido
contenido en un recipiente mediante un émbolo; en la segunda, se empuja un
bloque sólido. ¿Cuál es el efecto de estas acciones? ¿Qué diferencia un caso de
otro?
La
característica estructural de los fluidos hace que en ellos se transmitan
presiones, a diferencia de lo que ocurre en los sólidos, que transmiten
fuerzas. Este comportamiento fue descubierto por el físico francés Blaise
Pascal (1623-1662) , quien estableció el siguiente principio:
Un cambio
de presión aplicado a un fluido en reposo dentro de un recipiente se transmite
sin alteración a través de todo el fluido. Es igual en todas las direcciones y
actúa mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen.
El
principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas
máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre
otras.
Cuando apretamos una chinche, la fuerza que el
pulgar hace sobre la cabeza es igual a la que la punta de la chinche ejerce
sobre la pared. La gran superficie de la cabeza alivia la presión sobre el
pulgar; la punta afilada permite que la presión sobre la pared alcance para
perforarla.
Cuando caminamos sobre un terreno blando debemos usar zapatos que
cubran una mayor superficie de apoyo de tal manera que la presión sobre el piso
sea la mas pequeña posible. Seria casi imposible para una mujer, inclusive las
mas liviana, camina con tacos altos sobre la arena, porque se hundiría
inexorablemente.
El peso de las estructuras como
las casas y edificios se asientan sobre el terreno a través de zapatas de
hormigón o cimientos para conseguir repartir todo el peso en la mayor cantidad
de área para que de este modo la tierra pueda soportarlo, por ejemplo un
terreno normal, la presión admisible es de 1,5 Kg/cm².
La
Presa Hidráulica
El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las
genéricamente llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el
ascensor y la grúa, entre otras.
Este dispositivo, llamado prensa hidráulica, nos permite prensar,
levantar pesos o estampar metales ejerciendo fuerzas muy pequeñas. Veamos cómo
lo hace.
El recipiente lleno de líquido de la figura consta de dos cuellos
de diferente sección cerrados con sendos tapones ajustados y capaces de
res-balar libremente dentro de los tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza
(F1) sobre el pistón pequeño, la presión ejercida se transmite, tal como lo
observó Pascal, a todos los puntos del fluido dentro del recinto y produce
fuerzas perpendiculares a las paredes. En particular, la porción de pared
representada por el pistón grande (A2) siente una fuerza (F2) de manera que
mientras el pistón chico baja, el grande sube. La presión sobre los pistones es
la misma, No así la fuerza!
Como p1 = p2 (porque la presión interna es la misma para todos lo puntos)
Entonces: F1/A1
es igual F2/A2 por lo que despejando un termino se tiene
que:
F2=
F1.(A2/A1)
Si, por ejemplo, la superficie del pistón grande es el cuádruple
de la del chico, entonces el módulo de la fuerza obtenida en él será el
cuádruple de la fuerza ejercida en el pequeño.
La prensa hidráulica, al igual que las palancas mecánicas, no
multiplica la energía. El volumen de líquido desplazado por el pistón pequeño
se distribuye en una capa delgada en el pistón grande, de modo que el producto
de la fuerza por el desplazamiento (el trabajo) es igual en ambas ramas. ¡El
dentista debe accionar muchas veces el pedal del sillón para lograr levantar lo
suficiente al paciente!
EL EMPUJE:
PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un
líquido es empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz
de sacarlo a flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso.
Pero, ¿cuál es el origen de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su
intensidad? Sabemos que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y
conocemos también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las
superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las
paredes del contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo
sumergido en él.
Distribución de las fuerzas
sobre un cuerpo sumergido
Imaginemos
diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribución de
fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de la
hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que
la resultante de todas ellas en la dirección lwrizontal será cero. Pero en la
dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los
cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte
inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la
profundidad, resulta más intensa la fuerza sobre la superficie inferior.
Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa una resultante vertical hacia
arriba que llamamos empuje.
¿Cuál es el valor de dicho empuje?
Tomemos el
caso del cubo: la fuerza es el peso de la columna de agua ubicada por arriba de
la cara superior (de altura h1). Análogamente, F2 corresponde al peso de la
columna que va hasta la cara inferior del cubo (h2). El empuje resulta ser la
diferencia de peso entre estas dos columnas, es decir el peso de una columna de
líquido idéntica en volumen al cubo sumergido. Concluimos entonces que el
módulo del empuje es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo
sumergido.
Con un
ejercicio de abstracción podremos generalizar este concepto para un cuerpo
cualquiera. Concentremos nuestra atención en una porción de agua en reposo
dentro de una pileta llena. ¿Por qué nuestra porción de agua no cae al fondo de
la pileta bajo la acción de su propio peso? Evidentemente su entorno la está
sosteniendo ejerciéndole una fuerza equilibrante hacia arriba igual a su propio
peso (el empuje).
Ahora
imaginemos que “sacamos” nuestra porción de agua para hacerle lugar a un cuerpo
sólido que ocupa exactamente el mismo volumen. El entorno no se ha modificado
en absoluto, por lo tanto, ejercerá sobre el cuerpo intruso la misma fuerza que
recibía la porción de agua desalojada. Es decir:
Un cuerpo
sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de
líquido desplazado.
E = Peso del líquido desplazado = dlíq . g . Vliq
desplazado = dliq . g . Vcuerpo
Es
importante señalar que es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que determina
el empuje cuando está totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibirá
un gran empuje; un cuerpo pequeño, un empuje pequeño.
Como hace
un barco para flotar?
Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte sumergida desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no macizo), por lo que se logra una densidad media pequeña. En el caso de los submarinos, tienen un sistema que le permite incorporar agua y de esta manera consiguen regular a sus necesidades la densidad media de la nave.
Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte sumergida desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no macizo), por lo que se logra una densidad media pequeña. En el caso de los submarinos, tienen un sistema que le permite incorporar agua y de esta manera consiguen regular a sus necesidades la densidad media de la nave.
EL PROBLEMA
DE LA CORONA DEL
REY
El rey
Hierón le entregó 2,5 kg
de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue el
peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado
sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le encomendó
entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona.
Con sólo
tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado casi
un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo.
En primer
lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó que
desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, el peso específico del oro es:
Poro = 500 g/25.3 cm3 =19.3 g/cm3
Si el
joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido
desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos,
debería haber sido:
Vcorona = 2.500 g/19.3
g/cm3 =129.5 cm3
A continuación,
sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado era de 166
cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para
saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió
la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer
su peso específico. Como el volumen desplazado resultó 95,2 cm3, se tiene que:
P plata =1000 g/95.2
g/cm3 =10.5 g/cm3
Sabemos que
el peso total de la corona es 2.500 gr. (el joyero tuvo la precaución de que
así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces:
Vcorona = V oro +V plata =166 cm3
V plata =166-V oro
P corona =P oro +P plata =2500 g.
Si
reescribimos la última ecuación en función del peso específico y el volumen,
nos queda que:
19.3 g/cm3 . V oro + 10.5 g/cm3 .
V plata = 2500 g
Tenemos dos
ecuaciones con dos incógnitas (V oro y Vplata).
Sustituyendo una ecuación con la otra, se tiene que:
19,3 g/cm3. V oro + 10.5 g/cm3. (166 cm3
-V oro) = 2.500
g
de donde se
despeja la incógnita:
V oro = 86cm3
con lo que
se deduce que:
Poro =Poro V oro = 19,3 g/cm3
. 86 cm3 = 1.660
g
Pplata =Pcorona - Poro =2.500gr -1.660 g =840 g
De esta
manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 840 g
. de oro
por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal
habido.
Ejemplos de aplicación:
1)
Un elevador
hidráulico está formado por un émbolo mayor de radio r1 = 500 cm y por un émbolo menor
de radio r2 = 20 cm. ¿ Qué fuerza debe
aplicarse al émbolo menor para elevar una masa de 1000 kg? ( considere los émbolos de forma cilíndrica )
Solución:
Según
el principio de Pascal se tiene que 
esto significa que la
fuerza buscada es F1 , que al despejarla de la fórmula anterior se
obtiene : 
esto significa que la
fuerza buscada es F1 , que al despejarla de la fórmula anterior se
obtiene :
Se
puede calcular el valor de F2 que corresponde al peso de la masa de 1000kg, así
se
tiene que 
Ahora
bien , como los émbolos son cilíndricos las áreas respectivas corresponden a
secciones circulares, por lo que se puede expresar : 
, 
, luego la ecuación para encontrar el valor de F1 se expresa como 
, que al simplificarse
se reduce a 
, sustituyendo
valores se obtiene que el valor de F1 es: 
, , luego la ecuación para encontrar el valor de F1 se expresa como , que al simplificarse
se reduce a , sustituyendo
valores se obtiene que el valor de F1 es: 
2) Calcular el empuje que sufre una bola esférica de 1 cm de radio cuando se
sumerge en:
a)
Alcohol
de densidad d = 0,7 g/cm3.
b)
Agua,
d = 1,0 g/cm3.
c)
Tetracloruro
de carbono, d = 1,7 g/cm3.
Solución
Según el Principio de Arquímedes el empuje es igual al peso del líquido
desalojado. O sea:
 |
El volumen de una esfera es: V = 4/3 p r 3,
luego para este caso:
a) EAlcohol=
4,19. 10 - 6 m3 0,7 10
3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,03 N
b) EAgua=
4,19. 10 - 6 m3 10 3 kg/m 3 10 m/s2
= 0,04 N
c) ETetrClo=
4,19. 10 - 6 m3 1,7 10
3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,07 N
Como se observa el empuje aumenta con la
densidad del líquido.
.
3) Mediante un dinamómetro se determina el peso de un objeto de 10 cm3
de volumen obteniéndose 0,72 N. A continuación se introduce en un líquido de
densidad desconocida y se vuelve a leer el dinamómetro (peso aparente) que
marca ahora 0,60 N. ¿Cuál es la densidad del líquido en el que se ha sumergido
el objeto?
Solución:
El dinamómetro marca menos cuando se introduce el objeto en el líquido
debido a que éste ejerce una fuerza (empuje) hacia arriba. El empuje lo podemos
calcular estableciendo la diferencia entre el peso en el aire y lo que marca el
dinamómetro cuando el objeto se encuentra sumergido en el líquido (peso
aparente)
E = Paire – Paparente = (0,72 – 0,60) N = 0,12 N
Utilizando ahora la ecuación: , despejamos la
densidad del líquido:
 |
Como se puede observar, uno de los métodos
utilizados en el laboratorio para determinar la densidad de líquidos está
basada en el Principio de Arquímedes.
Ejercicios Propuestos
1)
Un cuerpo se sumerge en agua y sufre un empuje de 55 gf, ¿cuál
será el empuje que sufrirá en éter? (δ = 0,72 g/cm³).
Respuesta: 39,69 gf
2)
Un cuerpo pesa en el aire 289 gf, en agua 190 gf y en alcohol 210
gf. ¿Cuál será el peso específico del
cuerpo y del alcohol?.
Respuesta: a) 3,11 g/cm³b) 0,77 g/cm³
3) Un cubo de
aluminio (δ = 2,7 g/cm³) de 3
cm de lado se coloca en agua de mar (δ = 1,025 g/cm³), ¿flota ó se hunde?.
Respuesta: se hunde
4)
El cuerpo del problema anterior se coloca en mercurio (δ = 13,56
g/cm³), ¿flotará?.
5)
Sobre el émbolo de 12 cm ² de un prensa
hidráulica se aplica una fuerza de 40 N, en
el otro se obtiene una fuerza de 150 N ,las secciones de los émbolos de
una prensa hidráulica son de 8
cm ² y de 20
cm ² respectivamente. Si sobre el primero se aplica una
fuerza de 70 N, ¿cuál será la fuerza obtenida por el otro émbolo?.
6)
El radio del émbolo menor de una
prensa es de 4 cm,
si sobre él se aplica una fuerza de 60
N se obtiene en el otro émbolo una de 300 N, ¿cuál es el radio de émbolo mayor
Respuesta: 10,9 cm
7) Sobre el
émbolo menor de una prensa se aplica una fuerza de 50 N, si en el otro se obtiene una de 1000 N, ¿cuál es la
relación entre los radios de los émbolos?.
FLUIDODINAMICA
Rama de la Física que estudia el
comportamiento de los fluidos en movimiento
Flujo : Se denomina así a todo fluido que se desplaza de
un punto a otro debido a una diferencia de presiones.
Tipos de Flujos
Flujo Permanente o Estacionario : La velocidad de las partículas del fluido en cualquier punto es
constante, es decir, que todas las partícula que pasan por un
mismo punto llevan la misma velocidad.
Flujo Turbulento :
Es aquel en el cual la velocidad en un punto del fluido cambia a través del
tiempo. La turbulencia se presenta cuando en la
trayectoria del fluido que se desplaza a gran velocidad hay obstáculos o
curvas, como ocurre en los rápidos de los ríos.
Flujo Incomprensible : flujo cuya densidad permanece
constante a medida que cambia la presión.
Flujo Comprensible: Flujo cuya densidad cambia a medida que
cambia la presión.
Flujo Viscoso
: Es aquel que fluye con mucha
dificultad, es decir aquel que presenta mucha fricción entre las capas del
fluido
Flujo no Viscoso:
Es aquel que no presenta oposición alguna al movimiento del fluido.
Flujo Rotacional : Es cuando parte del fluido
presenta movimientos de rotación y
traslación.
Flujo Irrotacional:
Es cuando el fluido solo presenta movimiento de traslación.
En lo
que respecta a este curso limitaremos el estudio para flujo de fluidos con
carácter ideal es decir, para aquellos que sean no viscosos.
Flujo Volumétrico,
Gasto o Caudal ( R ) : Se denomina
así al volumen de fluido que fluye a través de una sección en la unidad de
tiempo. En térmicos matemáticos se expresa:
, donde
En otras palabras el gasto es la rapidez con
la que fluye un fluido. Un fluido fluirá con mas rapidez a través de una
sección estrecha del tubo y mas lentamente a través de secciones mas amplias.
Ecuación de Continuidad
La variación en la sección transversal
de un tubo dará como resultado un cambio en la velocidad del líquido, esto es
que si la sección del tubo aumenta, la velocidad disminuye y si la sección
disminuye la velocidad aumenta de modo que el gasto permanecerá constante.
Dicho de otro modo la cantidad de fluido que entra por una sección del tubo es la misma que sale por otra
sección del mismo.
Lo anterior se expresa por medio de la
ecuación :
|
la cual se conoce como Ecuación de Continuidad, la cual se enuncia como
sigue:
“ El producto del área y de la
velocidad del fluido en todos los puntos a lo largo de un tubo es una constante
en el caso de un fluido en movimiento,
cuya densidad se considera invariable a lo largo del tiempo”
Ejemplo de aplicación
Agua fluye a través de una tubería cuyo
diámetro mide 1 Pulgada
con una velocidad de 
.¿ Cuál es el diámetro de una sección de la tubería que se
estrecha y en la cual la velocidad del agua es de 
?
.¿ Cuál es el diámetro de una sección de la tubería que se
estrecha y en la cual la velocidad del agua es de ?
Solución
Se sabe que 
Si
A1 y 
son el área y la
velocidad respectivamente en la sección mas ancha y A2 y 
el área y la velocidad
de la sección mas estrecha, entonces lo que interesa encontrar es A2 , para
luego determinar el diámetro correspondiente, luego se tiene :
son el área y la
velocidad respectivamente en la sección mas ancha y A2 y el área y la velocidad
de la sección mas estrecha, entonces lo que interesa encontrar es A2 , para
luego determinar el diámetro correspondiente, luego se tiene :
, pero como la
sección transversal de la tubería es circular se tiene que :
y 
, sustituyendo en la ecuación anterior se tiene :
Sustituyendo datos : D2 = 
= 0.45 pulg.
= 0.45 pulg.ECUACIÓN DE BERNOULLI
Se sabe que la energía es la capacidad para
realizar un trabajo. Las dos formas de energía que se conocen mas comúnmente
son la energía cinética ( que depende del movimiento ) y la potencial( que
depende de la posición). En el estudio de los fluidos en movimiento la energía
potencial se subdivide en energía potencial propiamente dicha y energía de
presión debida al fluido.
A la
suma de la energía cinética y la energía potencial de un sistema se le llama energía
mecánica ( E ). La energía mecánica
es constante para cualquier sistema, esto lo enuncia el principio de
conservación de la energía mecánica :” La energía no se crea ni se destruye,
solo se transforma”.
En virtud de lo anterior podemos afirmar para dos momentos diferentes la energía
mecánica de un sistema es la misma, es decir que si para un primer instante la
energía de un sistema es E1 y para un segundo instante la energía
correspondiente es E2 , podemos afirmar que estas dos energías son
iguales, es decir, E1 = E2
pero E1 = (energía cinética)1 + (energía potencial)1
similarmente
E2 =(energía cinética)2 + (energía potencial)2 , luego se tiene que :
(energía cinética)1 + (energía potencial)1 =
(energía cinética)2 +
(energía potencial)2
Este principio aplicado a un fluido en
movimiento se denomina Ecuación de
Bernoulli. La ecuación de bernoulli entonces, no es mas que el principio de
conservación de la energía aplicada a fluidos en movimiento.
A fin de lograr una expresión matemática de la
ecuación de Bernoulli, se procede de la siguiente manera:
Sea Ek
la energía cinética cuya ecuación es 
, donde m = masa y 
= velocidad
, donde m = masa y = velocidad
Sea Ug la energía potencial
gravitatoria ( debida a la posición)
cuya ecuación es 
, donde m = masa, g =
aceleración de la gravedad y h = altura
, donde m = masa, g =
aceleración de la gravedad y h = altura
Sea Up , la energía de presión,
cuya energía de presión es 
, donde P = presión y
V = volumen.
, donde P = presión y
V = volumen.
Sustituyendo éstas expresiones en la ecuación
de conservación de energía E1
= E2 se llega a la siguiente
expresión:
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
, la cual se conoce como
ecuación de Bernoulli.
Si la ecuación anterior se divide entre el
volumen V ( recuerde que 
) se obtiene la ecuación modificada, que es la
que mas usualmente se acostumbra para expresar la ecuación de Bernoulli, es
decir:
) se obtiene la ecuación modificada, que es la
que mas usualmente se acostumbra para expresar la ecuación de Bernoulli, es
decir:
|
Ecuación de
Bernoulli para fluidos ideales ( no viscosos )
Ejemplo de
aplicación:
Por una tubería inclinada circula agua a razón de 
, como se muestra en
la figura. En la sección a el
diámetro es 0.3 m
y la presión es de 98000 Pa. ¿ Cuál es la presión en la sección b
sabiendo que el diámetro es de 0.15
m y que el centro de la tubería se halla 0.5
m mas abajo que en a ?
, como se muestra en
la figura. En la sección a el
diámetro es 0.3 m
y la presión es de 98000 Pa. ¿ Cuál es la presión en la sección b
sabiendo que el diámetro es de 0.15
m y que el centro de la tubería se halla 0.5
m mas abajo que en a ?
Solución:
Aplicando la
ecuación de continuidad en los puntos a
y b y
recordando que caudal es se obtiene la
velocidad en esos puntos:
se obtiene la
velocidad en esos puntos:
= R
, sustituyendo valores 
, sustituyendo valores 
Conocidas las
velocidades, se puede aplicar la Ecuación de
Bernoulli entre los puntos a y b para calcular la presión en b :
Despejando Pb :
, sustituyendo
valores, se tiene:
Otro ejemplo de aplicación
Un tubo que conduce un fluido incomprensible
cuya densidad es 
esta dispuesto en
forma horizontal. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia
arriba, hasta alcanzar una altura de 1 m. El tubo tiene un área transversal
constante. Si la presión en la sección inferior es 151987.5 Pa, calcule la
presión a 1 m
de altura.
esta dispuesto en
forma horizontal. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia
arriba, hasta alcanzar una altura de 1 m. El tubo tiene un área transversal
constante. Si la presión en la sección inferior es 151987.5 Pa, calcule la
presión a 1 m
de altura.
Solución:
Según la ecuación de continuidad, al tener
área transversal constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su
interior, por tanto 
, en consecuencia, aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos 1 y 2 ( ver dibujo ) , se tiene:
, en consecuencia, aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos 1 y 2 ( ver dibujo ) , se tiene:
, donde 
, por lo que se
eliminan y la ecuación se reduce a la
expresión : 
, despejando P2
sustituyendo valores , se tiene :
Ejercicios Propuestos
PROBLEMA 1
Cuál es la velocidad media en una tubería de 15 cm, si el caudal de agua
transportado es de 3800 m3/día?.
Resp. 2,48 m/seg.
PROBLEMA 2
Qué diámetro debe tener una tubería para transportar 2 m3/s
a una velocidad media de 3 m/s?.
Resp. 92 cm.
PROBLEMA 3
Una tubería de 30 cm
de diámetro, que transporta 110 l/seg., está conectada a una tubería de 15 cm. Determinar la altura
de velocidad en la tubería de 15
cm.
Resp. 1,97 m
PROBLEMA 4
Una tubería de 15 cm de diámetro transporta 80 l/s. La tubería
se ramifica en otras dos, una de 5
cm y la otra de 10 cm de diámetro. Si la velocidad en la
tubería de 5 cm
es de 12 m/s., Cuál es la velocidad en la tubería de 10 cm
?
Resp. 7,20 m/
PROBLEMA 5
Una tubería de 30 cm de diámetro transporta 110 l/s. de un
aceite de densidad relativa 0,812 y la presión manométrica en A es de 0,20
kg/cm2. Si el punto A está situado 1,80 m por encima del plano
de referencia, calcular la energía en A
PROBLEMA 6
A través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro fluye agua
a una presión de 4,20 kg/cm2. Suponiendo que no hay pérdidas, cual
es el caudal si en una reducción de 7,5 cm de diámetro la presión es de 1,40 kg/cm2
?.
Resp. Q = 107 l/s
PROBLEMA 7
Si en el problema 6 fluye un aceite de densidad relativa 0,752,
calcular el caudal ?.
Resp. 123 l/s.
PROBLEMA 8
Si lo que fluye en el problema 6 es tretracloruro de carbono (densidad
relativa 1,594), determinar Q.
Resp. 85
l/s.
PROBLEMA 9
A través de una tubería vertical de 30 cm de diámetro fluyen
hacia arriba 220 l/s de agua. En el punto A de la tubería la presión es 2,20
kg/cm2. En el punto B, 4,60 m por encima de A, el
diámetro es de 60 cm
. Determinar la presión en B en kg/cm2.
PROBLEMA 10
Una tubería de 30 cm
de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce gradualmente
hasta 15 cm
y de nuevo aumenta a 30 cm.
La sección de 15 cm
está 60 cm
por debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 cm, donde la presión es de
5,25 kg/cm2. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un
manómetro diferencial de mercurio, cual es la lectura del manómetro cuando
circula hacia abajo un caudal de agua de 120 l/s?. Supóngase que no existen pérdidas.
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